Riemann zeta دالة الرياضيات

دالة Riemann zeta ، وظيفة مفيدة في نظرية الأعداد لدراسة خصائص الأعداد الأولية. مكتوب كـ as (x) ، تم تعريفه في الأصل على أنه السلسلة اللانهائيةζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯. عندما x = 1 ، تسمى هذه السلسلة السلسلة التوافقية ، والتي تزداد بلا حدود - أي أن مجموعها لا نهائي. بالنسبة للقيم x أكبر من 1 ، تتقارب السلسلة إلى عدد محدود مع إضافة مصطلحات متتالية. إذا كانت x أقل من 1 ، يكون المجموع غير محدود مرة أخرى. كانت وظيفة زيتا معروفة لدى عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر في عام 1737 ، ولكن تم دراستها لأول مرة على نطاق واسع من قبل عالم الرياضيات الألماني برنهارد ريمان.

في عام 1859 ، نشر ريمان ورقة تقدم صيغة واضحة لعدد الأعداد الأولية حتى أي حد مُحدَّد مسبقًا - تحسنًا محسوسًا على القيمة التقريبية المقدمة من نظرية العدد الأولي. ومع ذلك ، اعتمدت صيغة ريمان على معرفة القيم التي تساوي عندها النسخة المعممة من دالة زيتا صفرًا. (يتم تعريف دالة Riemann zeta لجميع الأرقام المعقدة - أرقام النموذج x + iy ، حيث i = الجذر التربيعي لـ √ 1 - باستثناء الخط x = 1.) عرف Riemann أن الدالة تساوي صفر لجميع الأرقام السالبة حتى الأعداد الصحيحة −2 ، −4 ، −6 ،

(ما يسمى بالأصفار التافهة) ، وأنه يحتوي على عدد لا نهائي من الأصفار في الشريط الحرج للأرقام المعقدة بين السطور x = 0 و x = 1 ، كما أنه يعلم أن جميع الأصفار غير البديهية متماثلة فيما يتعلق بالحرج خط س = ¹ / ₂. افترض ريمان أن جميع الأصفار غير التقليدية على الخط الحرج ، وهو التخمين الذي أصبح يعرف فيما بعد باسم فرضية ريمان.

في عام 1900 ، وصف عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت فرضية ريمان بأنها واحدة من أهم الأسئلة في جميع الرياضيات ، كما يتضح من تضمينها في قائمته المؤثرة المكونة من 23 مشكلة لم يتم حلها والتي تحدى بها علماء الرياضيات في القرن العشرين. في عام 1915 ، أثبت عالم الرياضيات الإنجليزي جودفري هاردي أن عددًا لا حصر له من الأصفار يحدث على الخط الحرج ، وبحلول عام 1986 ، ظهر أن جميع الأصفار غير التقليدية البالغ عددها 1500000 على الخط الحرج. على الرغم من أن الفرضية قد تكون خاطئة ، إلا أن التحقيقات في هذه المشكلة الصعبة أثرت فهم الأعداد المركبة.