الحساب ، فرع الرياضيات الذي يتم فيه دراسة الأرقام والعلاقات بين الأرقام والملاحظات على الأرقام واستخدامها لحل المشكلات.
الحساب (مصطلح مشتق من الكلمة اليونانية arithmos ، "رقم") يشير بشكل عام إلى الجوانب الأولية لنظرية الأعداد ، فنون القياس (القياس) والحساب العددي (أي عمليات الجمع والطرح والضرب ، الانقسام ، ورفع السلطات ، واستخراج الجذور). ومع ذلك ، لم يكن معناها متجانسًا في الاستخدام الرياضي. استخدم عالم الرياضيات الألماني البارز ، كارل فريدريش غاوس ، في Disquisitiones Arithmeticae (1801) ، وبعض علماء الرياضيات المعاصرين المصطلح لتضمين مواضيع أكثر تقدمًا. يُشار إلى القارئ المهتم بالأخيرة إلى نظرية رقم المقالة.
التعاريف والقوانين الأساسية
الأعداد الطبيعية
في مجموعة (أو مجموعة) من الكائنات (أو العناصر) ، يسمى فعل تحديد عدد العناصر الموجودة العد. تسمى الأرقام التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة أرقام العد أو الأرقام الطبيعية (1 ، 2 ، 3 ،
). بالنسبة للمجموعة الفارغة ، لا يوجد كائن ، والعد يعطي الرقم 0 ، والذي ، ملحق بالأرقام الطبيعية ، ينتج ما يعرف بالأرقام الصحيحة.
إذا كان يمكن مطابقة كائنات من مجموعتين بطريقة يتم فيها إقران كل عنصر من كل مجموعة بشكل فريد بعنصر من المجموعة الأخرى ، فيقال أن المجموعات متساوية أو مكافئة. يعتبر مفهوم المجموعات المكافئة أساسيًا لأسس الرياضيات الحديثة وقد تم إدخاله في التعليم الابتدائي ، لا سيما كجزء من "الرياضيات الجديدة" (انظر الشكل) التي تم الإشادة بها وشجبها بالتناوب منذ ظهورها في الستينيات. انظر نظرية المجموعات.
الجمع والضرب
من خلال دمج مجموعتين من الكائنات معًا ، والتي تحتوي على عنصري a و b ، يتم تشكيل مجموعة جديدة تحتوي على كائنات + b = c. الرقم c يسمى مجموع a و b ؛ ويطلق على كل من هذه الأخيرة استدعاء. تسمى عملية تكوين المجموع الجمع ، ويتم قراءة الرمز + على أنه "زائد". هذه هي أبسط عملية ثنائية ، حيث يشير الثنائي إلى عملية دمج شيئين.
من تعريف العد ، من الواضح أنه يمكن تغيير ترتيب الصفات ويمكن تغيير ترتيب عملية الإضافة ، عند تطبيقه على ثلاثة صفوف ، دون التأثير على المجموع. ويطلق عليها قانون التبادل الإضافة وقانون الجمع الإضافي ، على التوالي.
إذا كان هناك رقم طبيعي k مثل a = b + k ، يقال أن a أكبر من b (مكتوب a> b) وأن b أقل من a (مكتوب b <a). إذا كان a و b يمثلان رقمين طبيعيين ، فحينئذٍ يكون إما a = b أو a> b أو a <b (قانون trichotomy).
من القوانين المذكورة أعلاه ، من الواضح أن مبلغًا متكررًا مثل 5 + 5 + 5 مستقل عن الطريقة التي يتم بها تجميع الأمواج ؛ يمكن كتابتها 3 × 5. وهكذا ، يتم تعريف عملية ثنائية ثانية تسمى الضرب. الرقم 5 يسمى المضروب. الرقم 3 ، الذي يشير إلى عدد من الصفوف ، يسمى المضاعف ؛ والنتيجة 3 × 5 تسمى المنتج. يُقرأ رمز هذه العملية "مرات". إذا تم استخدام أحرف مثل a و b للإشارة إلى الأرقام ، فغالبًا ما تتم كتابة المنتج a × b a ∙ b أو ببساطة ab.
إذا تم كتابة ثلاثة صفوف من خمس نقاط لكل منها ، كما هو موضح أدناه ،
من الواضح أن العدد الإجمالي للنقاط في المصفوفة هو 3 × 5 أو 15. يمكن كتابة هذا العدد نفسه من النقاط في خمسة صفوف من ثلاث نقاط لكل منها ، من حيث 5 × 3 = 15. الحجة عامة ، مما يؤدي للقانون الذي لا يؤثر فيه ترتيب المضاعفات على المنتج ، ويسمى قانون الضرب التبادلي. ولكن من الجدير بالذكر أن هذا القانون لا ينطبق على جميع الكيانات الرياضية. في الواقع ، يعتمد الكثير من الصيغة الرياضية للفيزياء الحديثة ، على سبيل المثال ، بشكل حاسم على حقيقة أن بعض الكيانات لا تتنقل.
من خلال استخدام مصفوفة ثلاثية الأبعاد من النقاط ، يصبح من الواضح أن ترتيب الضرب عند تطبيقه على ثلاثة أرقام لا يؤثر على المنتج. يسمى هذا القانون قانون الضرب النقابي. إذا تم فصل النقاط الـ 15 المكتوبة أعلاه إلى مجموعتين ، كما هو موضح ،
ثم تتكون المجموعة الأولى من ثلاثة أعمدة لكل منها ثلاث نقاط ، أو 3 × 3 نقاط ؛ تتكون المجموعة الثانية من عمودين لكل منهما ثلاث نقاط ، أو 2 × 3 نقاط ؛ يتكون المجموع (3 × 3) + (2 × 3) من 3 + 2 = 5 أعمدة من ثلاث نقاط لكل منها ، أو (3 + 2) × 3 نقاط. بشكل عام ، يمكن للمرء أن يثبت أن ضرب المبلغ في عدد هو نفس مجموع منتجين مناسبين. يسمى هذا القانون قانون التوزيع.
أعداد صحيحة
لم يتم طرح الطرح لسبب بسيط يمكن تعريفه بأنه معكوس الجمع. وهكذا ، يتم تعريف الفرق أ - ب من رقمين أ و ب على أنه حل س للمعادلة ب + س = أ. إذا كان نظام الأعداد محصوراً بالأرقام الطبيعية ، فلا داعي لأن توجد اختلافات دائمًا ، ولكن إذا كانت موجودة ، فيمكن استخدام القوانين الأساسية الخمسة للحساب ، كما نوقش بالفعل ، لإثبات أنها فريدة. علاوة على ذلك ، يمكن توسيع قوانين عمليات الجمع والضرب لتطبق على الاختلافات. يمكن توسيع الأعداد الصحيحة (بما في ذلك الصفر) لتشمل حل 1 + x = 0 ، أي الرقم −1 ، وكذلك جميع منتجات النموذج −1 × n ، حيث n هي عدد صحيح. تسمى المجموعة الموسعة للأرقام الأعداد الصحيحة ، التي تكون الأعداد الصحيحة الموجبة لها هي نفس الأعداد الطبيعية. تسمى الأرقام التي تم تقديمها حديثًا بهذه الطريقة الأعداد الصحيحة السالبة.
