المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضليةعبارة حسابية تحتوي على مشتق واحد أو أكثر — أي ، المصطلحات التي تمثل معدلات التغير في الكميات المتغيرة باستمرار. المعادلات التفاضلية شائعة جدًا في العلوم والهندسة ، وكذلك في العديد من المجالات الأخرى للدراسة الكمية ، لأن ما يمكن ملاحظته وقياسه بشكل مباشر للأنظمة التي تخضع للتغييرات هو معدلات تغيرها. إن حل المعادلة التفاضلية بشكل عام معادلة تعبر عن الاعتماد الوظيفي لمتغير واحد على واحد أو أكثر. عادة ما تحتوي على مصطلحات ثابتة غير موجودة في المعادلة التفاضلية الأصلية. طريقة أخرى لقول هذا هي أن حل المعادلة التفاضلية ينتج وظيفة يمكن استخدامها للتنبؤ بسلوك النظام الأصلي ، على الأقل في حدود معينة.

التحليل: نيوتن والمعادلات التفاضلية

تطبيق التحليل هي معادلات تفاضلية ، تربط معدلات تغير الكميات المختلفة بقيمها الحالية ،

يتم تصنيف المعادلات التفاضلية إلى عدة فئات عريضة ، وهي بدورها مقسمة أيضًا إلى العديد من الفئات الفرعية. أهم الفئات هي المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجزئية. عندما تعتمد الدالة المعنية في المعادلة على متغير واحد فقط ، فإن مشتقاتها هي مشتقات عادية ويتم تصنيف المعادلة التفاضلية كمعادلة تفاضلية عادية. من ناحية أخرى ، إذا كانت الدالة تعتمد على العديد من المتغيرات المستقلة ، بحيث تكون مشتقاتها مشتقات جزئية ، يتم تصنيف المعادلة التفاضلية على أنها معادلة تفاضلية جزئية. فيما يلي أمثلة على المعادلات التفاضلية العادية:

في هذه ، يمثل y الدالة ، وإما t أو x هو المتغير المستقل. يتم استخدام الرموز k و m هنا للوقوف على ثوابت محددة.

مهما كان النوع ، يقال أن المعادلة التفاضلية تكون من الترتيب n إذا كانت تشتمل على مشتق من الترتيب n ولكن لا مشتق من أمر أعلى من ذلك. المعادلة هي مثال على معادلة تفاضلية جزئية للترتيب الثاني. تختلف نظريات المعادلات التفاضلية العادية والجزئية اختلافًا ملحوظًا ، ولهذا السبب يتم التعامل مع الفئتين بشكل منفصل.

بدلاً من معادلة تفاضلية واحدة ، قد يكون هدف الدراسة نظامًا متزامنًا لهذه المعادلات. وكثيراً ما تؤدي صياغة قوانين الديناميات إلى مثل هذه الأنظمة. في كثير من الحالات ، يمكن استبدال معادلة تفاضلية مفردة من الترتيب n بشكل مفيد بنظام n من المعادلات المتزامنة ، كل منها من الدرجة الأولى ، بحيث يمكن تطبيق تقنيات من الجبر الخطي.

معادلة تفاضلية عادية ، على سبيل المثال ، يتم فيها تحديد الدالة والمتغير المستقل بواسطة y و x هي في الواقع ملخص ضمني للخصائص الأساسية لـ y كدالة لـ x. من المفترض أن تكون هذه الخصائص أكثر سهولة في التحليل إذا أمكن إنتاج صيغة صريحة لـ y. تسمى هذه الصيغة ، أو على الأقل معادلة في x و y (لا تتضمن مشتقات) يمكن استنتاجها من المعادلة التفاضلية ، حل المعادلة التفاضلية. تسمى عملية استنتاج حل من المعادلة بواسطة تطبيقات الجبر وحساب التفاضل والتكامل حل أو دمج المعادلة. ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن المعادلات التفاضلية التي يمكن حلها بشكل صريح ولكن أقلية صغيرة. وبالتالي ، يجب دراسة معظم الوظائف بطرق غير مباشرة. حتى وجوده يجب إثباته عندما لا يكون هناك إمكانية لإنتاجه للتفتيش. من الناحية العملية ، يتم استخدام طرق من التحليل العددي ، بما في ذلك أجهزة الكمبيوتر ، للحصول على حلول تقريبية مفيدة.