التباديل والتوليفات الرياضيات

التباديل والتركيبات ، الطرق المختلفة التي يمكن بها اختيار كائنات من مجموعة ، بشكل عام بدون استبدال ، لتشكيل مجموعات فرعية. يسمى هذا التحديد للمجموعات الفرعية بالتغيير عندما يكون ترتيب التحديد عاملاً ، وهو مزيج عندما لا يكون الترتيب عاملاً. من خلال النظر في نسبة عدد المجموعات الفرعية المرغوبة إلى عدد جميع المجموعات الفرعية الممكنة للعديد من ألعاب الحظ في القرن السابع عشر ، أعطى علماء الرياضيات الفرنسيين Blaise Pascal و Pierre de Fermat زخماً لتطوير نظرية التوافقية ونظرية الاحتمالات.

التوافقية: المعاملات ذات الحدين

تسمى الأشياء n تبديلا للأشياء المأخوذة r في كل مرة. عدد التباديل

يمكن توضيح مفاهيم والتباينات بين التباديل والتركيبات من خلال فحص جميع الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها اختيار زوج من الأشياء من خمسة أشياء مميزة - مثل الأحرف A و B و C و D و E. يتم اختيار الرسائل وترتيب الاختيار ، ثم يمكن تحقيق النتائج العشرين التالية:

يُطلق على كل من هذه الاختيارات العشرين الممكنة المختلفة التقليب. على وجه الخصوص ، يطلق عليهم التبادل بين خمسة أشياء مأخوذة اثنين في وقت واحد ، ويشار إلى عدد هذه التبديلات الممكنة بالرمز ₅ P ₂ ، اقرأ "5 permute 2." بشكل عام ، إذا كان هناك n كائنات متاحة للاختيار من بينها ، ويتم تشكيل التباديل (P) باستخدام k من الكائنات في كل مرة ، فإن عدد التباديل المختلفة الممكنة يُرمز إليه بالرمز _n P _k. صيغة لتقييمها هي _n P _k = n! / (n - k)! التعبير n! - قراءة "n factorial" - يشير إلى أن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية من 1 حتى و بما في ذلك n سيتم ضربها معًا ، و 0! يتم تعريفه على أنه يساوي 1. على سبيل المثال ، باستخدام هذه الصيغة ، يكون عدد التباديل لخمسة كائنات مأخوذة في وقت واحد

(بالنسبة إلى k = n، _n P _k = n! وبالتالي ، بالنسبة لـ 5 كائنات ، هناك 5! = 120 ترتيبًا.)

بالنسبة للمجموعات ، يتم تحديد كائنات k من مجموعة من كائنات n لإنتاج مجموعات فرعية بدون ترتيب. على النقيض من مثال التقليب السابق مع التركيبة المقابلة ، لم تعد المجموعات الفرعية AB و BA اختيارات متميزة ؛ من خلال القضاء على مثل هذه الحالات ، يبقى هناك 10 مجموعات فرعية مختلفة فقط - AB و AC و AD و AE و BC و BD و BE و CD و CE و DE.

يُشار إلى عدد هذه المجموعات الفرعية بـ _n C _k ، اقرأ "n Choose k." للمجموعات ، لأن كائنات ك لها ك! الترتيبات ، هناك ك! التباديل التي لا يمكن تمييزها لكل اختيار من كائنات ك. وبالتالي قسمة الصيغة التبادلية على ك! تعطي الصيغة المركبة التالية:

هذا هو نفس معامل ذي الحدين (ن ، ك) (انظر نظرية ذات الحدين). على سبيل المثال ، عدد مجموعات خمسة كائنات تم التقاطها مرتين في وقت واحد