تاريخ التحليل
يواجه الإغريق مقادير مستمرة
يتكون التحليل من تلك الأجزاء من الرياضيات التي يكون فيها التغيير المستمر مهمًا. وتشمل هذه دراسة الحركة وهندسة المنحنيات والسطوح الملساء - على وجه الخصوص ، حساب المماس والمساحات والأحجام. حقق علماء الرياضيات اليونانيون القدماء تقدمًا كبيرًا في كل من نظرية وممارسة التحليل. فرضت عليهم النظرية حوالي 500 قبل الميلاد من خلال اكتشاف فيثاغورس لحجم غير منطقي وحوالي 450 قبل الميلاد من قبل مفارقات زينو للحركة.
فيثاغورس وأرقام غير منطقية
في البداية ، اعتقد الفيثاغورسيون أن كل شيء يمكن قياسه بالأرقام الطبيعية المنفصلة (1 ، 2 ، 3 ،
) ونسبهم (الكسور العادية أو الأعداد المنطقية). اهتز هذا الاعتقاد ، مع ذلك ، من خلال اكتشاف أن قطري مربع الوحدة (أي مربع طول ضلعه 1) لا يمكن التعبير عنه كرقم منطقي. تم تحقيق هذا الاكتشاف من خلال نظرية فيثاغورس الخاصة بهم ، والتي أثبتت أن المربع الموجود تحت الوتر للمثلث الأيمن يساوي مجموع المربعات على الجانبين الآخرين - في التدوين الحديث ، c 2 = a 2 + b 2. في مربع الوحدة ، يكون القطر هو الوتر للمثلث الأيمن ، مع الجانبين a = b = 1 ؛ وبالتالي ، فإن قياسه هو الجذر التربيعي لـ√2 - عدد غير منطقي. ضد نواياهم الخاصة ، أظهر فيثاغورس بالتالي أن الأرقام العقلانية لا تكفي لقياس حتى الأشياء الهندسية البسيطة. (انظر الشريط الجانبي: المواد غير القابلة للتداول.) كان رد فعلهم هو إنشاء عملية حسابية لمقاطع الخط ، كما هو موجود في الكتاب الثاني لعناصر إقليدس (ج 300 قبل الميلاد) ، والتي تضمنت تفسيرًا هندسيًا للأرقام العقلانية. بالنسبة للإغريق ، كانت أجزاء الخط أكثر عمومية من الأرقام ، لأنها تضمنت مقادير مستمرة ومتميزة.
في الواقع ، يمكن ربط الجذر التربيعي لـ√2 بالأرقام العقلانية فقط من خلال عملية لا نهائية. تم تحقيق ذلك من قبل إقليدس ، الذي درس الحساب لكل من الأرقام العقلانية وشرائح الخطوط. تؤدي خوارزميته الإقليدية الشهيرة ، عند تطبيقها على زوج من الأعداد الطبيعية ، في عدد محدود من الخطوات إلى القاسم المشترك الأكبر. ومع ذلك ، عند تطبيقه على زوج من مقاطع الخط بنسبة غير منطقية ، مثل الجذر التربيعي لـ√2 و 1 ، فإنه يفشل في الإنهاء. حتى أن إقليدس استخدم خاصية عدم الإبادة هذه كمعيار للعقلانية. وهكذا ، تحدى اللاعقلانية المفهوم اليوناني للعدد من خلال إجبارهم على التعامل مع العمليات اللانهائية.
مفارقات زينو ومفهوم الحركة
تمامًا كما كان الجذر التربيعي لـ√2 تحديًا لمفهوم الإغريق للرقم ، كانت مفارقات زينو تمثل تحديًا لمفهومهم للحركة. ونقل أرسطو عن زينو قوله في الفيزياء (ج 350 قبل الميلاد):
لا يوجد أي حركة لأن ما تم تحريكه يجب أن يصل إلى المنتصف [قبل الدورة] قبل أن يصل في النهاية.
لا تعرف حجج زينو إلا من خلال أرسطو ، الذي اقتبس منها بشكل أساسي لدحضها. من المفترض أن زينو كان يعني أنه ، للوصول إلى أي مكان ، يجب على المرء أولاً أن يذهب في منتصف الطريق وقبل ربع الطريق وقبل ذلك ثماني الطريق وهكذا. لأن عملية قطع المسافات إلى النصف ستستمر إلى ما لا نهاية (وهو مفهوم لن يقبله اليونانيون قدر الإمكان) ، ادعى زينو أنه "يثبت" أن الواقع يتكون من كائن لا يتغير. ومع ذلك ، على الرغم من كرههم لانهائية ، وجد اليونانيون أن المفهوم كان لا غنى عنه في رياضيات الأحجام المستمرة. لذا فكروا في اللانهاية بأكبر قدر ممكن ، في إطار منطقي يسمى نظرية النسب واستخدام طريقة الاستنفاد.
تم إنشاء نظرية النسب بواسطة Eudoxus حوالي 350 قبل الميلاد وحفظها في الكتاب الخامس لعناصر إقليدس. لقد أنشأ علاقة دقيقة بين المقادير العقلانية والمقادير التعسفية من خلال تحديد مقاسين ليكونا متساويين إذا كانت المقادير العقلانية الأقل منهما متساوية. وبعبارة أخرى ، كان حجمان مختلفين فقط إذا كان هناك حجم عقلاني بينهما بدقة. خدم هذا التعريف علماء الرياضيات لمدة ألفي عام ومهد الطريق لحساب التحليل في القرن التاسع عشر ، حيث تم تعريف الأرقام التعسفية بدقة من حيث الأرقام العقلانية. كانت نظرية النسب هي أول معالجة صارمة لمفهوم الحدود ، وهي فكرة تقع في صميم التحليل الحديث. في المصطلحات الحديثة ، حددت نظرية Eudoxus المقدرات التعسفية على أنها حدود المقدار العقلاني ، والنظريات الأساسية حول مجموع الاختلافات ، وناتج الأحجام كانت مساوية لنظريات حول مجموع ، واختلاف ، ومنتج الحدود.
