ديوفانتس ، byname ديوفانتس الإسكندرية ، (ج ازدهرت. م 250)، عالم الرياضيات الإغريقي الشهير لعمله في الجبر.
نظرية الأعداد: ديوفانتوس
من علماء الرياضيات اليونانيين في وقت لاحق ، لا سيما الجدير بالذكر هو ديوفانتوس الإسكندرية (ازدهرت ج.250) ، مؤلف
ما لا يعرف سوى القليل عن حياة ديوفانتوس هو ظرفية. يبدو من تسمية "الإسكندرية" أنه عمل في المركز العلمي الرئيسي للعالم اليوناني القديم. ولأنه لم يذكر قبل القرن الرابع ، يبدو أنه قد ازدهر خلال القرن الثالث. قد يكون هناك جدل كبير في الحساب الحسابي من Anthologia Graeca من العصور القديمة المتأخرة ، الذي يُزعم أنه يعيد تتبع بعض معالم حياته (الزواج في سن 33 ، ولادة ابنه في 38 ، وفاة ابنه قبل أربع سنوات من عمره في 84). وصلنا عملين تحت اسمه ، وكلاهما غير مكتمل. الأول هو جزء صغير من الأعداد المضلعة (الرقم هو مضلع إذا كان يمكن ترتيب نفس العدد من النقاط في شكل مضلع عادي). الثاني ، أطروحة كبيرة ومؤثرة للغاية والتي تعتمد عليها كل شهرة ديوفانتوس القديمة والحديثة ، هي Arithmetica. أهميتها التاريخية ذات شقين: إنها أول عمل معروف يستخدم الجبر بأسلوب حديث ، وقد ألهمت ولادة نظرية الأعداد.
تبدأ Arithmetica بمقدمة موجهة إلى Dionysius - يمكن القول أن القديس Dionysius من الإسكندرية. بعد بعض التعميمات حول الأرقام ، يشرح ديوفانتوس رمزيته - يستخدم رموزًا للمجهول (المقابل لـ x) وقواه ، إيجابية أو سلبية ، بالإضافة إلى بعض العمليات الحسابية - معظم هذه الرموز هي اختصارات كتابية بوضوح. هذا هو الحدث الأول والوحيد للرمزية الجبرية قبل القرن الخامس عشر. بعد تدريس ضرب قوى المجهول ، يشرح ديوفانتوس تكاثر المصطلحات الإيجابية والسلبية ، ثم كيفية اختزال المعادلة إلى واحدة بمصطلحات إيجابية فقط (الشكل القياسي المفضل في العصور القديمة). مع هذه التصفيات البعيدة عن الطريق ، يتابع ديوفانتوس المشاكل. في الواقع ، إن Arithmetica هي في الأساس مجموعة من المشاكل مع الحلول ، حوالي 260 في الجزء لا يزال موجودًا.
تنص المقدمة أيضًا على أن العمل مقسم إلى 13 كتابًا. عُرفت ستة من هذه الكتب في أوروبا في أواخر القرن الخامس عشر ، وأرسلها يونانيون من قبل علماء بيزنطيين وتم ترقيمها من الأول إلى السادس ؛ تم اكتشاف أربعة كتب أخرى في عام 1968 في ترجمة عربية في القرن التاسع من قبل قصي بن لقا. ومع ذلك ، يفتقر النص العربي إلى رمزية رياضية ، ويبدو أنه يستند إلى تعليق يوناني لاحق - ربما تعليق هيباتيا (حوالي 370-415) - مما أدى إلى إضعاف عرض ديوفانتوس. نحن نعلم الآن أنه يجب تعديل ترقيم الكتب اليونانية: تتكون Arithmetica من الكتب من الأول إلى الثالث باللغة اليونانية ، ومن الكتب من الرابع إلى السابع باللغة العربية ، ويفترض أن الكتب من الثامن إلى العاشر باللغة اليونانية (الكتب اليونانية السابقة من الرابع إلى السادس)). من غير المحتمل إعادة الترقيم ؛ من المؤكد إلى حد ما أن البيزنطيين كانوا يعرفون فقط الكتب الستة التي نقلوها والعرب لا يزيدون عن الكتب من الأول إلى السابع في النسخة المعلقة.
مشاكل الكتاب الأول ليست مميزة ، كونها في الغالب مشاكل بسيطة تستخدم لتوضيح الحساب الجبرية. تظهر السمات المميزة لمشاكل Diophantus في الكتب اللاحقة: فهي غير محددة (لديها أكثر من حل واحد) ، وهي من الدرجة الثانية أو يمكن اختزالها إلى الدرجة الثانية (أعلى قوة بشروط متغيرة هي 2 ، أي × 2) ، وتنتهي بتحديد قيمة منطقية موجبة للمجهول ستجعل تعبيرًا جبرًا معينًا مربعًا رقميًا أو أحيانًا مكعب. (طوال كتابه ، يستخدم Diophantus "الرقم" للإشارة إلى ما يُطلق عليه الآن الأرقام الموجبة والعقلانية ؛ وبالتالي ، فإن العدد المربع هو مربع بعض الأرقام الموجبة والعقلانية). كما يُدرس الكتابان الثاني والثالث الطرق العامة. في ثلاث مشاكل من الكتاب الثاني ، يتم شرح كيفية تمثيل: (1) أي رقم مربع معين كمجموع مربعات لرقمين منطقيين ؛ (2) أي رقم غير مربع ، وهو مجموع مربعين معروفين ، كمجموع مربعين آخرين ؛ و (3) أي رقم منطقي معين على أنه فرق بين مربعين. بينما يتم ذكر المشكلتين الأولى والثالثة بشكل عام ، فإن المعرفة المفترضة لحل واحد في المشكلة الثانية تشير إلى أنه ليس كل رقم منطقي هو مجموع مربعين. يعطي Diophantus لاحقًا شرط العدد الصحيح: يجب ألا يحتوي الرقم المحدد على أي عامل أولي من النموذج 4n + 3 مرفوعًا إلى قوة فردية ، حيث n هو عدد صحيح غير سالب. هذه الأمثلة حفزت ولادة نظرية الأعداد. على الرغم من أن Diophantus راضٍ عادةً عن الحصول على حل واحد لمشكلة ما ، إلا أنه يذكر أحيانًا في المشاكل وجود عدد لا نهائي من الحلول.
في الكتب من الرابع إلى السابع ، يوسع ديوفانتوس الطرق الأساسية مثل تلك المذكورة أعلاه إلى مشاكل الدرجات الأعلى التي يمكن اختزالها إلى معادلة ذات حدين من الدرجة الأولى أو الدرجة الثانية. تنص مقدمة هذه الكتب على أن الغرض منها هو تزويد القارئ "بالخبرة والمهارة". في حين أن هذا الاكتشاف الأخير لا يزيد المعرفة برياضيات ديوفانتوس ، إلا أنه يغير تقييم قدرته التربوية. الكتابان الثامن والتاسع (يفترض أن الكتب اليونانية الرابع والخامس) يحلان مشاكل أكثر صعوبة ، حتى إذا ظلت الأساليب الأساسية كما هي. على سبيل المثال ، تتضمن إحدى المشكلات تحليل عدد صحيح معين في مجموع مربعين قريبين من بعضهما البعض بشكل تعسفي. تتضمن مشكلة مماثلة تحليل عدد صحيح معين في مجموع ثلاثة مربعات. في ذلك ، يستبعد Diophantus الحالة المستحيلة للأعداد الصحيحة من النموذج 8n + 7 (مرة أخرى ، n عدد صحيح غير سالب). يتعامل الكتاب العاشر (يُفترض أنه كتاب يوناني السادس) مع المثلثات القائمة الزاوية والجوانب العقلانية ويخضع لظروف أخرى مختلفة.
يمكن تخمين محتويات الكتب الثلاثة المفقودة في الحساب من المقدمة ، حيث ، بعد القول إن تقليل المشكلة يجب أن ينتهي "إذا أمكن" مع معادلة ذات الحدين ، يضيف ديوفانتوس أنه سوف "يعالج لاحقًا" الحالة لمعادلة ثلاثية - وعد لم يتحقق في الجزء الموجود.
على الرغم من أنه كان لديه أدوات جبرية محدودة تحت تصرفه ، تمكن ديوفانتوس من حل مجموعة كبيرة ومتنوعة من المشاكل ، وألهم Arithmetica علماء الرياضيات العرب مثل Al Karajī (980-1030) لتطبيق أساليبه. كان امتداد أعمال ديوفانتوس الأكثر شهرة هو بيير دي فيرمات (1601-1665) ، مؤسس نظرية الأعداد الحديثة. على هامش نسخته من Arithmetica ، كتب فيرمات ملاحظات مختلفة ، يقترح حلولًا جديدة وتصحيحات وتعميمات لأساليب ديوفانتوس بالإضافة إلى بعض التخمينات مثل نظرية فيرمات الأخيرة ، التي احتلت علماء الرياضيات لأجيال قادمة. أصبحت المعادلات غير المحددة المقيدة بالحلول المتكاملة معروفة ، على الرغم من أنها غير ملائمة ، مثل معادلات ديوفانتين.
