أسس الرياضيات

نظرية الفئات

التجريد في الرياضيات

كان الاتجاه الأخير في تطوير الرياضيات هو العملية التدريجية للتجريد. أثبت عالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك آبل (1802–1829) أن معادلات الدرجة الخامسة لا يمكن حلها بشكل عام عن طريق الراديكاليين. قدم عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست جالوا (1811-1832) ، مدفوعًا جزئيًا بعمل هابيل ، مجموعات معينة من التباديل لتحديد الشروط اللازمة لمعادلة كثير الحدود لتكون قابلة للحل. سرعان ما أدت هذه المجموعات الملموسة إلى ظهور مجموعات مجردة ، تم وصفها بديهيًا. ثم تم إدراك أنه لدراسة المجموعات كان من الضروري النظر إلى العلاقة بين المجموعات المختلفة - على وجه الخصوص ، في الأشكال المتجانسة التي تربط مجموعة بمجموعة أخرى مع الحفاظ على عمليات المجموعة. وهكذا بدأ الناس في دراسة ما يسمى الآن الفئة الملموسة من المجموعات ، التي تكون أهدافها مجموعات والتي تكون أسهمها عبارة عن أشكال متجانسة. لم يستغرق الأمر وقتًا طويلاً لاستبدال الفئات الملموسة بفئات مجردة ، موصوفة مرة أخرى بشكل بديهي.

تم تقديم الفكرة المهمة لفئة من قبل صموئيل إيلينبرغ وساوندرز ماك لين في نهاية الحرب العالمية الثانية. يجب تمييز هذه الفئات الحديثة عن فئات أرسطو ، والتي يطلق عليها بشكل أفضل الأنواع في السياق الحالي. لا تحتوي الفئة على كائنات فحسب ، بل تحتوي أيضًا على أسهم (يُشار إليها أيضًا بالتشكيلات أو التحولات أو التعيينات) بينها.

تحتوي العديد من الفئات على مجموعات كائنات موهبة ببعض البناء والسهام ، والتي تحافظ على هذا الهيكل. وبالتالي ، توجد فئات المجموعات (ذات البنية الفارغة) والتعيينات ، والمجموعات والتشكيلات الجماعية للمجموعات ، والحلقات والتشكيلات المتجانسة للحلقة ، والمساحات المتجهة والتحولات الخطية ، والمساحات الطوبولوجية والخرائط المستمرة ، وما إلى ذلك. حتى أنه يوجد ، على مستوى أكثر تجريدًا ، فئة الفئات والمرحلات (الصغيرة) ، كما تسمى الأشكال بين الفئات ، والتي تحافظ على العلاقات بين الأشياء والسهام.

لا يمكن عرض جميع الفئات بهذه الطريقة الملموسة. على سبيل المثال ، قد يُنظر إلى صيغ النظام الاستنباطي على أنها كائنات من فئة تمثل سهامها f: A → B خصومات من B من A. في الواقع ، تعتبر وجهة النظر هذه مهمة في علوم الكمبيوتر النظرية ، حيث يتم التفكير في الصيغ كأنواع وخصومات كعمليات.

بشكل أكثر رسمية ، تتكون الفئة من (1) مجموعة من العناصر أ ، ب ، ج ،… ، (2) لكل زوج من الكائنات المرتبة في المجموعة مجموعة مرتبطة من التحولات بما في ذلك الهوية I _A ∶ A → A ، و (3) قانون التركيب المرتبط لكل ثلاثية مرتبة من الكائنات في الفئة مثل تلك f ∶ A → B and g ∶ B → C التركيبة gf (أو g ○ f) هي تحول من A إلى C— أي ، gf ∶ A → C. بالإضافة إلى ذلك ، فإن القانون النقابي والهويات مطلوب الاحتفاظ بها (حيث يتم تعريف التراكيب) -ie، ح (GF) = (الزئبق) و و 1 _B و = و = F1 _A.

بمعنى ما ، لا تحتوي كائنات الفئة المجردة على نوافذ ، مثل monads Leibniz. لاستنتاج الجزء الداخلي من كائن A ، يحتاج المرء فقط إلى النظر في جميع الأسهم من كائنات أخرى إلى A. على سبيل المثال ، في فئة المجموعات ، يمكن تمثيل عناصر المجموعة A بسهام من مجموعة عنصر واحد نموذجية في A وبالمثل ، في فئة الفئات الصغيرة ، إذا كانت 1 هي الفئة التي تحتوي على كائن واحد ولا توجد أسهم غير معرفة ، فقد يتم التعرف على كائنات الفئة أ بالموصلات 1 → أ. وعلاوة على ذلك، إذا 2 هي الفئة مع اثنين من الأشياء والسهم التماثل واحد، وسهام و يمكن تحديد مع [فونكتورس] 2 → A.

الهياكل المتشابهة

سهم و: A → B يسمى على التماثل إذا كان هناك سهم ز: B → A معكوس إلى f-وهذا هو، بحيث ز ○ و = 1 _A و f ○ ز = 1 _B. هذا مكتوب A ≅ B ، و A و B تسمى متشابهة ، مما يعني أن لديهم نفس البنية بشكل أساسي وأنه لا توجد حاجة للتمييز بينهما. بقدر ما تكون الكيانات الرياضية كائنات من الفئات ، يتم إعطاؤها فقط إلى التماثل. إن تراكيبهم النظرية التقليدية ، بغض النظر عن خدمة غرض مفيد في إظهار الاتساق ، غير ذات صلة حقًا.

على سبيل المثال ، في البناء المعتاد لحلقة الأعداد الصحيحة ، يتم تعريف العدد الصحيح على أنه فئة معادلة للأزواج (م ، ن) من الأعداد الطبيعية ، حيث (م ، ن) يساوي (م ′ ، ن ′) إذا و فقط إذا كانت m + n ′ = m ′ + n. الفكرة هي أنه يجب النظر إلى فئة التكافؤ (م ، ن) على أنها م - ن. ومع ذلك ، فإن المهم بالنسبة إلى المصنف هو أن الحلقة int من الأعداد الصحيحة هي كائن أولي في فئة الحلقات والتشكيلات المتجانسة — أي أنه لكل حلقة ℝ هناك شكل فريد من نوعه ℤ → ℝ. وبهذه الطريقة ، يتم إعطاء is فقط للتشكل. وبنفس الروح ، لا ينبغي أن يقال أنه ℤ موجود في حقل ℚ من الأعداد العقلانية ولكن فقط أن التجانس الشكل ℤ → ℚ هو واحد لواحد. وبالمثل ، ليس من المنطقي التحدث عن التقاطع النظري بين set والجذر التربيعي لـ√-1 ، إذا تم التعبير عن كليهما كمجموعات من مجموعات (ad infinitum).

من المهم بشكل خاص في المؤسسات وأماكن أخرى مساعدون (F ، G). هذه أزواج من المرافقات بين فئتين ? و which ، والتي تسير في اتجاهين متعاكسين بحيث توجد مراسلات واحد لواحد بين مجموعة الأسهم F (A) → B in ℬ ومجموعة الأسهم A → G (B) في ? — أي أن المجموعات متشابهة.