وصفات بي

إلى Eudoxus of Cnidus (حوالي 400-350 قبل الميلاد) يتشرف بكونه أول من يظهر أن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع نصف قطرها. في تدوين الجبر اليوم ، يتم التعبير عن هذا التناسب بالصيغة المألوفة A = 2r ². ومع ذلك ، فإن ثابت التناسب π ، على الرغم من معرفته ، غامض للغاية ، والسعي لفهمه والعثور على قيمته الدقيقة قد احتل علماء الرياضيات لآلاف السنين. بعد قرن من Eudoxus، وجدت أرخميدس أول تقريب جيد من π: 3 ¹⁰ / ₇₁ <π <3 ¹ / ₇. حقق ذلك عن طريق تقريب دائرة بمضلع 96 جانبًا (انظر الرسوم المتحركة). تم العثور على تقديرات أفضل باستخدام مضلعات ذات جوانب أكثر ، ولكن هذه عملت فقط على تعميق اللغز ، لأنه لا يمكن الوصول إلى قيمة دقيقة ، ولا يمكن ملاحظة أي نمط في تسلسل التقريبات.

تم اكتشاف حل مذهل من الغموض من قبل علماء الرياضيات الهندية حوالي 1500 م: π يمكن أن تكون ممثلة من قبل لانهائي، ولكن بشكل مثير للدهشة بسيطة، سلسلة ^π / ₄ = 1 - ¹ / ₃ + ¹ / ₅ - ¹ / ₇ اكتشف + ⋯. وهم هذا كحالة خاصة من مسلسل باب ظيفة الظل العكسية: تان ^-1 (س) = س - ^{س 3 / ₃ + س 5 / ₅ - س 7 / ₇ + ⋯.}

إن المكتشفين الفرديين لهذه النتائج غير معروفين على وجه اليقين. بعض العلماء ينسبونهم إلى Nilakantha Somayaji ، وبعضهم إلى Madhava. البراهين الهندية تشبه هيكليا البراهين التي اكتشفها لاحقا في أوروبا جيمس غريغوري وجوتفريد فيلهلم ليبنيز وجاكوب برنولي. والفرق الرئيسي هو أنه عندما كان الأوروبيون يتمتعون بميزة النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، كان على الهنود إيجاد حدود لمبالغ الشكل

قبل إعادة اكتشاف غريغوري لسلسلة المماس العكسي حوالي عام 1670 ، تم اكتشاف صيغ أخرى لـ π في أوروبا. في 1655 جون واليس اكتشف المنتج لا حصر له ^π / ₄ = ² / ₃ ∙ ⁴ / ₃ ∙ ⁴ / ₅ ∙ ⁶ / ₅ ∙ ⁶ / ₇ ⋯، وزميله ويليام برونكر تحول هذا إلى استمرار جزء لا حصر له

وأخيرا، في مقدمة يونارد يولر لتحليل اللانهائي (1748)، وسلسلة ^π / ₄ = 1 - ¹ / ₃ + ¹ / ₅ - ¹ / ₇ + تتحول ⋯ إلى استمرار جزء Brouncker، وتبين أن جميع الصيغ الثلاث هي في البعض يشعر بنفس الشيء.

إن الكسر المستمر اللامتناهي لـ Brouncker مهم بشكل خاص لأنه يشير إلى أن π ليس جزءًا عاديًا - بعبارة أخرى ، π غير منطقي. تم استخدام هذه الفكرة بدقة في أول دليل على أن π غير منطقي ، قدمه يوهان لامبرت في عام 1767.