مشكلة Sturm-Liouville ، أو مشكلة eigenvalue ، في الرياضيات ، فئة معينة من المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE) تخضع لقيود إضافية ، تعرف باسم القيم الحدودية ، على الحلول. هذه المعادلات شائعة في كل من الفيزياء الكلاسيكية (على سبيل المثال ، التوصيل الحراري) وميكانيكا الكم (مثل معادلة شرودنغر) لوصف العمليات التي يتم فيها الاحتفاظ ببعض القيمة الخارجية (القيمة الحدودية) ثابتة بينما ينقل نظام الاهتمام شكلاً من أشكال الطاقة.
في منتصف 1830s عمل علماء الرياضيات الفرنسيون شارل فرانسوا ستورم وجوزيف ليوفيل بشكل مستقل على مشكلة التوصيل الحراري من خلال قضيب معدني ، في عملية تطوير تقنيات لحل فئة كبيرة من PDEs ، وأبسطها يأخذ شكل [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 حيث y هي بعض الكمية الفيزيائية (أو دالة الموجة الميكانيكية الكمومية) و a هي معلمة ، أو قيمة ذاتية ، تقيد المعادلة بحيث أن ذ يرضي القيم الحدية في نقاط النهاية للفاصل الزمني الذي يتراوح فيه المتغير س. إذا كانت الدالات p و q و r تفي بالشروط المناسبة ، فستحتوي المعادلة على مجموعة من الحلول ، تسمى الوظائف الذاتية ، المقابلة لحلول القيمة الذاتية.
بالنسبة للحالة غير المتجانسة الأكثر تعقيدًا التي يكون فيها الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه دالة ، f (x) ، بدلاً من الصفر ، يمكن مقارنة القيم الذاتية للمعادلة المتجانسة المقابلة مع القيم الذاتية للمعادلة الأصلية. إذا كانت هذه القيم مختلفة ، سيكون للمشكلة حل فريد. من ناحية أخرى ، إذا تطابق أحد هذه القيم الذاتية ، فلن يكون للمشكلة حل أو مجموعة كاملة من الحلول ، اعتمادًا على خصائص الوظيفة f (x).
