الهندسة الإقليدية
إذا أخذنا بعين الاعتبار الهندسة الإقليدية ، فإننا نلاحظ بوضوح أنها تشير إلى القوانين المنظمة لمواقع الأجسام الصلبة. يتحول إلى حساب الفكر العبقري في تتبع جميع العلاقات المتعلقة بالجسد ومواقفها النسبية إلى المفهوم البسيط "المسافة" (Strecke). المسافة تشير إلى جسم صلب تم تحديد نقطتين (علامات) مادية عليهما. يشير مفهوم المساواة في المسافات (والزوايا) إلى التجارب التي تنطوي على الصدف. تنطبق نفس الملاحظات على نظريات التطابق. الآن ، تستخدم الهندسة الإقليدية ، بالشكل الذي سلمت به إلينا من إقليدس ، المفاهيم الأساسية "الخط المستقيم" و "المستوى" التي لا يبدو أنها تتوافق ، أو على أي حال ، ليس بشكل مباشر مع التجارب بخصوص وضع الأجسام الصلبة. في هذا الصدد ، يجب ملاحظة أن مفهوم الخط المستقيم قد يتم اختزاله إلى مفهوم المسافة.1 علاوة على ذلك ، كان المهندسون أقل اهتمامًا بإبراز علاقة مفاهيمهم الأساسية بالتجربة مقارنة باستنتاج المنطقية الافتراضات الهندسية من بعض البديهيات المعلنة في البداية.
دعونا نلخص بإيجاز كيف يمكن اكتساب أساس الهندسة الإقليدية من مفهوم المسافة.
نبدأ من المساواة في المسافات (بديهية المساواة في المسافات). لنفترض أن مسافتين غير متساويتتين تكون إحداهما دائمًا أكبر من الأخرى. نفس البديهيات يجب أن تكون ثابتة لعدم المساواة في المسافات كما هي الحال بالنسبة لعدم المساواة في الأرقام.
ثلاث مسافات AB 1 ، BC 1 ، CA 1 ، إذا تم اختيار CA 1 بشكل مناسب ، فإن علاماتها BB 1 ، CC 1 ، AA 1 تتراكب على بعضها البعض بطريقة ينتج عنها مثلث ABC. المسافة CA 1 لها حد أعلى لا يزال هذا البناء ممكنًا فيه. النقاط A و (BB ') و C ثم تقع في "خط مستقيم" (تعريف). وهذا يؤدي إلى المفاهيم: إنتاج مسافة بمقدار مساوٍ لنفسها ؛ تقسيم المسافة إلى أجزاء متساوية ؛ التعبير عن مسافة من حيث عدد عن طريق قضيب قياس (تعريف الفاصل الزمني بين نقطتين).
عندما تم اكتساب مفهوم الفاصل بين نقطتين أو طول مسافة بهذه الطريقة ، فإننا نطلب فقط البديهية التالية (نظرية فيثاغورس) من أجل الوصول إلى الهندسة الإقليدية تحليليًا.
لكل نقطة في الفضاء (النص المرجعي) ، يمكن تعيين ثلاثة أرقام (إحداثيات) x و y و z - وبالعكس - بطريقة تسمح لكل زوج من النقاط A (x 1 ، y 1 ، z 1) و B (x 2 ، y 2 ، z 2) تحمل النظرية:
رقم القياس AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
يمكن بناء جميع المفاهيم والمقترحات الإضافية للهندسة الإقليدية بشكل منطقي على هذا الأساس ، ولا سيما أيضًا الافتراضات حول الخط المستقيم والمستوى.
لا يقصد من هذه الملاحظات بالطبع أن تحل محل البناء البديهي تمامًا للهندسة الإقليدية. نود فقط أن نشير بشكل معقول إلى الكيفية التي يمكن بها تتبع جميع مفاهيم الهندسة إلى المسافة. ربما قمنا أيضًا بتجسيد الأساس الكامل للهندسة الإقليدية في النظرية الأخيرة أعلاه. سيتم بعد ذلك تقديم العلاقة بأسس الخبرة بواسطة نظرية تكميلية.
قد يتم اختيار الإحداثيات ويجب أن يتم اختيارها بحيث يمكن أن يتطابق زوجان من النقاط مفصولة بفواصل متساوية ، كما تم حسابه بمساعدة نظرية فيثاغورس ، بحيث تتزامن مع نفس المسافة المختارة بشكل مناسب (على صلبة).
قد يتم اشتقاق مفاهيم واقتراحات الهندسة الإقليدية من اقتراح فيثاغورس دون إدخال أجسام جامدة ؛ لكن هذه المفاهيم والمقترحات لن تحتوي على محتويات يمكن اختبارها. إنها ليست مقترحات "حقيقية" ولكنها مجرد مقترحات صحيحة منطقيًا لمحتوى رسمي بحت.
