فرضية الاستمرارية ، بيان نظرية المجموعة أن مجموعة الأعداد الحقيقية (السلسلة) بمعنى أنها يمكن أن تكون صغيرة. في عام 1873 ، أثبت عالم الرياضيات الألماني ، جورج كانتور ، أن الاستمرارية لا تعد ولا تحصى - أي أن الأعداد الحقيقية هي ما لا نهاية له أكبر من الأعداد العد - وهي نتيجة رئيسية في بدء نظرية المجموعات كموضوع رياضي. علاوة على ذلك ، طور كانتور طريقة لتصنيف حجم المجموعات اللانهائية وفقًا لعدد عناصرها ، أو أصلها. (انظر نظرية المجموعة: الكاردينال والأرقام العابرة للحدود.) في هذه المصطلحات ، يمكن ذكر فرضية الاستمرارية على النحو التالي: أصالة التسلسل هو أصغر عدد أساسي لا يحصى.
نظرية المجموعات: الأعداد الأساسية والأرقام العابرة للحدود
حدس يعرف بفرضية الاستمرارية.
في تدوين كانتور ، يمكن ذكر فرضية الاستمرارية بالمعادلة البسيطة 2 ℵ 0 = ℵ 1 ، حيث ℵ 0 هو العدد الأساسي لمجموعة لا نهائية قابلة للعد (مثل مجموعة الأعداد الطبيعية) ، والأرقام الأساسية للأكبر " مجموعات جيدة التنظيم "هي ℵ 1 ، ℵ 2 ،
، ℵ α ،
مفهرسة بالأرقام الترتيبية. يمكن أن تثبت أصالة السلسلة المتواصلة 2 ℵ 0 ؛ وهكذا ، تستبعد فرضية الاستمرارية وجود مجموعة من الحجم المتوسط بين الأعداد الطبيعية والاستمرارية.
عبارة أقوى هي فرضية الاستمرارية المعممة (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 لكل رقم ترتيبي α. أثبت عالم الرياضيات البولندي Wacław Sierpiński أنه مع GCH يمكن للمرء أن يستمد البديهية المفضلة.
كما هو الحال مع بديهية الاختيار ، أثبت عالم الرياضيات الأمريكي المولد النمساوي كورت جودل في عام 1939 أنه ، إذا كانت البديهيات القياسية الأخرى Zermelo-Fraenkel (ZF ؛ انظر
الجدول) متسقة ، ثم لا دحض فرضية الاستمرارية أو حتى GCH. أي أن نتيجة إضافة GCH إلى البديهيات الأخرى تظل ثابتة. ثم في عام 1963 ، أكمل عالم الرياضيات الأمريكي بول كوهين الصورة بإظهار ، مرة أخرى على افتراض أن ZF متناسق ، أن ZF لا تقدم دليلاً على فرضية الاستمرارية.
بما أن ZF لا تثبت ولا تدحض فرضية الاستمرارية ، فلا يزال هناك سؤال حول ما إذا كان سيتم قبول فرضية الاستمرارية بناءً على مفهوم غير رسمي للمجموعات. كانت الإجابة العامة في المجتمع الرياضي سلبية: فرضية الاستمرارية هي عبارة محددة في سياق حيث لا يوجد سبب معروف لفرض حد. في نظرية المجموعات ، تقوم عملية ضبط الطاقة بتعيين كل مجموعة من الأصالة set α مجموعتها من جميع المجموعات الفرعية ، التي لها أصالة 2 ℵ α. يبدو أنه لا يوجد سبب لفرض حد لمجموعة متنوعة من المجموعات الفرعية التي قد تكون لها مجموعة لا حصر لها.
