منطق رسمي

اللوحات الدلالية

منذ 1980s اكتسبت تقنية أخرى لتحديد صحة الحجج في جهاز الكمبيوتر أو LPC بعض الشعبية ، بسبب سهولة التعلم والتطبيق المباشر من خلال برامج الكمبيوتر. تم اقتراحه في الأصل من قبل المنطق الهولندي Evert W. Beth ، تم تطويره ونشره بشكل أكبر من قبل عالم الرياضيات والمنطق الأمريكي Raymond M. Smullyan. بالاعتماد على الملاحظة أنه من المستحيل أن تكون مقدمات حجة صحيحة صحيحة بينما الاستنتاج خاطئ ، تحاول هذه الطريقة تفسير (أو تقييم) المقدمات بطريقة تجعلهم راضين في نفس الوقت ونفي هو راض أيضا الاستنتاج. سيثبت النجاح في مثل هذا الجهد أن الحجة غير صالحة ، في حين أن الفشل في العثور على مثل هذا التفسير سيثبت أنها صحيحة.

يستمر بناء اللوحة الدلالية على النحو التالي: التعبير عن المقدمات ونفي إبرام حجة في جهاز الكمبيوتر باستخدام النفي فقط (∼) والفصل (∨) كوصلات مقترحة. تخلص من كل ظهور لعلامتي نفي في تسلسل (على سبيل المثال ، تصبح ∼∼∼∼∼a ∼a). الآن قم بإنشاء مخطط شجرة متفرع لأسفل بحيث يتم استبدال كل فصل بفرعين ، أحدهما للانفصال الأيسر والآخر لليسار. يكون الفصل الأصلي صحيحًا إذا كان أي من الفرعين صحيحًا. تشير قوانين De Morgan إلى أن نفي الانفصال يكون صحيحًا فقط في حالة نفي كلتا الوصلتين [أي ، ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. تؤدي هذه الملاحظة الدلالية إلى قاعدة مفادها أن نفي الانقسام يصبح فرعًا واحدًا يحتوي على نفي كل فصل:

تأمل الحجة التالية:

كتابة:

الآن قم بإلغاء الفصل وتشكيل فرعين:

فقط إذا كانت جميع الجمل في فرع واحد على الأقل صحيحة ، فمن الممكن أن تكون المقدمات الأصلية صحيحة والاستنتاج خاطئ (بشكل مكافئ لنفي الاستنتاج). من خلال تتبع الخط لأعلى في كل فرع إلى أعلى الشجرة ، يلاحظ المرء أن أي تقييم للفرع في الفرع الأيسر سيؤدي إلى تلقي جميع الجمل في هذا الفرع القيمة الحقيقية (بسبب وجود a و ∼a). وبالمثل ، في الفرع الأيمن ، فإن وجود b و ∼b يجعل من المستحيل على التقييم أن يؤدي إلى تلقي جميع جُمل الفرع القيمة الحقيقية. هذه هي جميع الفروع الممكنة. وبالتالي ، من المستحيل العثور على موقف تكون فيه المباني صحيحة والاستنتاج خاطئ. وبالتالي فإن الحجة الأصلية صحيحة.

يمكن تمديد هذه التقنية للتعامل مع موصلات أخرى:

علاوة على ذلك ، في LPC ، يجب إدخال قواعد إنشاء wffs الكمية. من الواضح أن أي فرع يحتوي على كل من (∀x) ϕx و ∼ϕy هو فرع لا يمكن فيه تلبية جميع الجمل في هذا الفرع في وقت واحد (في ظل افتراض الاتساق ω ؛ انظر ميتالوجيك). مرة أخرى ، إذا فشلت جميع الفروع في أن تكون مرضية في وقت واحد ، فإن الحجة الأصلية صحيحة.

أنظمة خاصة LPC

يمكن تعديل LPC كما هو موضح أعلاه إما عن طريق تقييد أو توسيع نطاق wffs بطرق مختلفة:

• 1. النظم الجزئية LPC. بعض الأنظمة الأكثر أهمية التي أنتجتها القيود موضحة هنا:

  • قد يكون من الضروري أن يكون كل متغير أصلي monadic بينما لا يزال يسمح بعدد لا نهائي من المتغيرات الفردية والمتقاربة. ومن ثم فإن ال wffs الذرية هي ببساطة تلك التي تتكون من متغير أصلي يتبعه متغير فردي واحد. خلاف ذلك ، تبقى قواعد التكوين كما كان من قبل ، وتعريف الصحة هو كما كان من قبل ، على الرغم من أنه مبسط بطرق واضحة. يُعرف هذا النظام باسم LPC monadic؛ يوفر منطق الخصائص ولكن ليس العلاقات. إحدى السمات الهامة لهذا النظام هو أنه قابل للتحديد. (ومع ذلك ، فإن إدخال متغير أصلي مزدوج واحد سيجعل النظام غير قابل للتجزئة ، وفي الواقع ، حتى النظام الذي يحتوي فقط على متغير أصلي ثنائي لا يظهر أي متغيرات أصيلة أخرى على الإطلاق غير قابلة للتحلل.)

  • يمكن تشكيل نظام bA لا يزال أبسط من خلال اشتراط (1) أن يكون كل متغير أصلي monadic ، (2) أن يتم استخدام متغير فردي واحد فقط (على سبيل المثال ، x) ، (3) أن يكون كل حدوث لهذا المتغير مرتبطًا ، و (4) عدم وجود محدد كمّي في نطاق أي مقياس آخر. من أمثلة wffs لهذا النظام (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("مهما كان ever هو both و χ") ؛ (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("يوجد شيء ϕ لكن ليس ψ") ؛ و (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("إذا كان أي شيء ϕ هو ψ ، فإن شيئًا ما هو ϕ و both"). يمكن تبسيط تدوين هذا النظام عن طريق حذف x في كل مكان والكتابة ∃ϕ لـ "شيء ما ϕ" و ∀ (ϕ ⊃ ψ) لـ "كل ما هو ϕ هو ψ" وما إلى ذلك. على الرغم من أن هذا النظام أكثر بدائية حتى من LPC الأحادي (الذي هو جزء منه) ، يمكن تمثيل أشكال مجموعة واسعة من الاستدلالات فيه. وهو أيضًا نظام قابل للتحديد ، ويمكن إعطاء إجراءات قرار من نوع أولي له.

• 2.إضافات LPC. تم إنشاء أنظمة أكثر تفصيلاً ، حيث يمكن التعبير عن مجموعة أوسع من المقترحات ، من خلال إضافة رموز LPC جديدة من أنواع مختلفة. وأبرز هذه الإضافات هي:

  • أ) واحد أو أكثر من الثوابت الفردية (على سبيل المثال ، أ ، ب ،

    ): يتم تفسير هذه الثوابت على أنها أسماء أفراد معينين ؛ من الناحية الرسمية ، يتم تمييزها عن المتغيرات الفردية بحقيقة أنها لا يمكن أن تحدث داخل محددات الكمية ؛ على سبيل المثال ، (∀x) هو مُحدِّد كمية ولكن (∀a) ليس كذلك

  • ب- ثوابت أصلية واحدة أو أكثر (قل ، أ ، ب ،

    ) ، كل درجة معينة ، يعتقد أنها تعين خصائص أو علاقات معينة.

إضافة أخرى محتملة ، والتي تتطلب شرحًا أكثر اكتمالًا إلى حد ما ، تتكون من رموز مصممة للوقوف على الوظائف. يمكن شرح مفهوم الوظيفة بشكل كافٍ للأغراض الحالية على النحو التالي. يقال أن هناك وظيفة معينة لوسيطات n (أو درجة n) عندما تكون هناك قاعدة تحدد كائنًا فريدًا (يسمى قيمة الدالة) كلما تم تحديد جميع الوسائط. في مجال البشر ، على سبيل المثال ، "أم -" هي وظيفة أحادية (وظيفة حجة واحدة) ، لأنه لكل إنسان هناك فرد فريد هو أمه ؛ وفي مجال الأعداد الطبيعية (أي ، 0 ، 1 ، 2 ،

) ، "مجموع - و -" هو دالة لوسيطة ، لأن أي زوج من الأعداد الطبيعية يوجد عدد طبيعي هو مجموعهم. يمكن اعتبار رمز الوظيفة على أنه تكوين اسم من أسماء أخرى (حججه) ؛ وبالتالي ، كلما كان اسم x و y أرقامًا ، فإن "مجموع x و y" يسمي أيضًا رقمًا ، وبالمثل لأنواع أخرى من الوظائف والحجج.

لتمكين التعبير عن الوظائف في LPC ، يمكن إضافة:

• ج. متغير دالة أو أكثر (على سبيل المثال ، f ، g ،

  ) أو واحد أو أكثر من الثوابت الدالة (على سبيل المثال ، F ، G ،

  ) أو كليهما ، كل من درجة معينة. يتم تفسير الأولى على أنها تتراوح بين وظائف الدرجات المحددة والأخيرة على أنها تعين وظائف محددة لتلك الدرجة.

عند إضافة أي أو كل من a-c إلى LPC ، يجب تعديل قواعد التكوين المدرجة في الفقرة الأولى من القسم على حساب التفاضل والتكامل الأصلي (انظر أعلاه حساب التفاضل والتكامل الأصغر) لتمكين دمج الرموز الجديدة في wffs. يمكن القيام بذلك على النحو التالي: يتم تعريف المصطلح أولاً على أنه (1) متغير فردي أو (2) ثابت فردي أو (3) أي تعبير يتكون عن طريق إضافة متغير دالة أو ثابت دالة من الدرجة n إلى أي مصطلحات n (عادة ما يتم فصل هذه المصطلحات - وسيطات رمز الوظيفة - بفواصل ومحاطة بأقواس). ثم يستعاض عن قاعدة التشكيل 1 بما يلي:

• 1′.التعبير الذي يتكون من المتغير الأصلي أو الثابت الأصلي للدرجة n متبوعًا بشروط n هو wff.

تتطلب القاعدة البديهية الواردة في القسم الخاص ببديهية LPC (انظر أعلاه Axiomatization of LPC) التعديل التالي: في مخطط البديهية 2 يُسمح لأي مصطلح باستبدال a عندما يتم تشكيل β ، شريطة ألا يكون هناك متغير مجاني في يصبح الحد ملزم في in. ستوضح الأمثلة التالية استخدام الإضافات المذكورة أعلاه إلى LPC: دع قيم المتغيرات الفردية هي الأرقام الطبيعية ؛ دع الثوابت الفردية a و b تمثل الأرقام 2 و 3 على التوالي ؛ السماح يعني "هو رئيس" ؛ ودع F يمثل الدالة الثنائية "مجموع." ثم يعبر AF (a، b) عن الاقتراح "مجموع 2 و 3 هو أولي" و (∃x) AF (x، a) يعبر عن الاقتراح "يوجد رقم بحيث يكون مجموعه و 2 أساسي."

عادة ما يكون إدخال الثوابت مصحوبًا بإضافة البديهيات إلى البديهيات الخاصة التي تحتوي على هذه الثوابت ، المصممة للتعبير عن المبادئ التي تحمل الأشياء أو الخصائص أو العلاقات أو الوظائف التي تمثلها - على الرغم من أنها لا تحتوي على أشياء أو خصائص أو العلاقات أو الوظائف بشكل عام. قد يُقرر ، على سبيل المثال ، استخدام الثابت A لتمثيل العلاقة الثنائية "أكبر من" (بحيث يعني Axy "x أكبر من y" وهكذا). هذه العلاقة ، على عكس العديد من العلاقات الأخرى ، متعدية. أي ، إذا كان كائن واحد أكبر من الثانية وكان الثاني بدوره أكبر من الثلث ، فإن الأول أكبر من الثالث. ومن ثم ، يمكن إضافة مخطط البديهية الخاص التالي: إذا كانت t ₁ و t ₂ و t ₃ أي مصطلحات ، فإن (عند ₁ t ₂ · عند ₂ t ₃) ⊃ عند ₁ t ₃ هي بديهية. بهذه الوسائل يمكن بناء أنظمة للتعبير عن الهياكل المنطقية لمختلف التخصصات. المجال الذي تم فيه معظم العمل من هذا النوع هو حساب العدد الطبيعي.

أحيانًا يتم دمج الكمبيوتر الشخصي و LPC في نظام واحد. يمكن القيام بذلك ببساطة عن طريق إضافة متغيرات مقترحة إلى قائمة بدائيات LPC ، وإضافة قاعدة تشكيل مؤداها أن المتغير المقترح قائم بذاته هو wff ، وحذف "LPC" في مخطط البديهية 1. ينتج عن هذه التعبيرات wffs مثل هذه التعبيرات مثل (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx و (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3. LPC مع الهوية. لا تُستخدم كلمة "is" دائمًا بنفس الطريقة. في اقتراح مثل (1) "سقراط هو أنف" ، فإن التعبير الذي يسبق "هو" يسمّي الفرد والتعبير الذي يليه يرمز إلى خاصية تنسب إلى ذلك الفرد. ولكن ، في اقتراح مثل (2) "سقراط هو الفيلسوف الأثيني الذي كان يشرب الشوكران" ، فإن التعبيرات التي تسبق وتتبع "هي" كلا من اسم الأفراد ، والشعور بالافتراض كله هو أن الفرد الذي ذكره الأول هو نفس الفرد الذي أطلق عليه اسم الثاني. وهكذا ، في 2 "is" يمكن توسيعها إلى "هي نفس الفرد" ، بينما في 1 لا يمكن. كما هو مستخدم في 2 ، تعني كلمة "is" علاقة ثنائية - أي الهوية - التي يؤكدها الافتراض على عقدها بين الشخصين. يجب فهم اقتراح الهوية في هذا السياق على أنه لا يؤكد أكثر من ذلك ؛ على وجه الخصوص ، لا ينبغي أن يؤخذ على أنه تأكيد على أن تعبيري التسمية لهما نفس المعنى. من الأمثلة التي نوقشت كثيرًا لتوضيح هذه النقطة الأخيرة "نجمة الصباح هي نجمة المساء". من الخطأ أن تكون عبارات "نجمة الصباح" و "نجمة المساء" تعني نفس الشيء ، ولكن صحيح أن الشيء الذي أشار إليه الأول هو نفسه الذي أشار إليه الأخير (كوكب الزهرة).

ولتمكين التعبير عن أشكال مقترحات الهوية ، تتم إضافة ثابت أصلية ثنائي إلى LPC ، والذي يكون الرمز الأكثر شيوعًا له = (مكتوب بين الحجج ، وليس قبلها). التفسير المقصود من x = y هو أن x هي نفس الشخص مثل y ، والقراءة الأكثر ملاءمة هي "x متطابقة مع y". عادة ما يتم اختزال نفي ∼ (س = ص) كـ س ص. لتعريف نموذج LPC الموضح سابقًا (انظر أعلاه الصلاحية في LPC) ، تمت إضافة القاعدة (التي تتوافق بطريقة واضحة مع التفسير المقصود) أن قيمة x = y هي 1 إذا كان نفس العضو في يتم تعيين D لكل من x و y ، وإلا تكون قيمته 0 ؛ يمكن تعريف الصلاحية كما كان من قبل. الإضافات التالية (أو بعض الإضافات المكافئة) تم إجراؤها على الأساس البديهي لـ LPC: البديهية x = x ومخطط البديهية التي ، حيث a و b هي أي متغيرات فردية و α و β هي wffs تختلف فقط في ذلك ، عند مكان أو أكثر حيث يكون لـ α حدثًا حرًا لـ a ، β له حدوث حر لـ b ، (a = b) ⊃ (α ⊃ β) هو بديهية. يُعرف مثل هذا النظام باسم حساب التفاضل والتكامل الأصغر مع الهوية ؛ يمكن بالطبع زيادتها بشكل أكبر بالطرق الأخرى المشار إليها أعلاه في "ملحقات LPC" ، وفي هذه الحالة قد يكون أي مصطلح حجة =.

الهوية علاقة تكافؤ ؛ أي أنها انعكاسية ومتناظرة ومتعددة. يتم التعبير عن انعكاسيتها مباشرة في البديهية x = x ، ويمكن بسهولة اشتقاق النظريات التي تعبر عن تناظرها وعبورها من الأساس المعطى.

بعض wffs من LPC-with-هوية مقترحات صريحة حول عدد الأشياء التي تمتلك خاصية معينة. "شيء واحد على الأقل هو ϕ" ، بالطبع ، يمكن التعبير عنه بالفعل بواسطة (∃x) ϕx ؛ يمكن الآن التعبير عن "شيئين مميزين (غير متطابقين) على الأقل" (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y) ؛ ويمكن أن يستمر التسلسل بطريقة واضحة. "على الأكثر شيء واحد هو ϕ" (أي "لا يوجد شيئان متميزان كلاهما ϕ") يمكن التعبير عنه عن طريق نفي wff المذكور سابقًا أو ما يعادلها ، (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y] ، ويمكن متابعة التسلسل بسهولة مرة أخرى. يمكن الحصول على صيغة "بالضبط شيء واحد ϕ" من خلال ربط الصيغ لـ "على الأقل شيء واحد ϕ" و "على الأقل شيء واحد ϕ" ، ولكن wff الأبسط يعادل هذا الاقتران (∃x) [·x · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] ، وهو ما يعني "هناك شيء ما and وأي شيء ϕ هو هذا الشيء." يمكن تمثيل الاقتراح "بالضبط شيئين ϕ" بواسطة (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]} ؛ أي ، "هناك شيئان غير متطابقين كل منهما ϕ ، وأي شيء هو ϕ هو واحد أو آخر من هذه." من الواضح أن هذا التسلسل يمكن أن يمتد أيضًا لإعطاء صيغة "بالضبط n الأشياء هي ϕ" لكل رقم طبيعي n. من المناسب اختصار wff لـ "بالضبط شيء واحد هو ϕ" إلى (∃! x) ϕx. كثيرا ما يقرأ هذا المحدد الخاص بصوت عالٍ على أنه "E-Shriek x."

أوصاف محددة

عندما تنتمي خاصية معينة to إلى كائن واحد فقط ، فمن الملائم الحصول على تعبير يسمي هذا الكائن. من الرموز الشائعة لهذا الغرض (ιx) ϕx ، والتي يمكن قراءتها على أنها "الشيء that" أو باختصار باسم "ϕ". بشكل عام ، حيث a هو أي متغير فردي و α هو أي wff ، فإن (ιa) α تعني القيمة المفردة التي تجعل α صحيحة. يُطلق على تعبير النموذج "كذا وكذا" وصفًا محددًا ؛ و (ιx) ، والمعروفة باسم عامل الوصف ، يمكن اعتبارها على أنها تشكل اسمًا للفرد من نموذج العرض. (ιx) مشابه لمُحَدِّد كمي ، حيث أنه عند مسبوقًا بـ wff α ، فإنه يربط كل حدوث حر لـ x في α. كما يسمح بإعادة المتغيرات المقيدة ؛ في أبسط الحالات ، يمكن قراءة (ιx) ϕx و (ιy) cany بكلمة "ϕ."

فيما يتعلق بقواعد التكوين ، يمكن دمج الأوصاف المحددة في LPC عن طريق ترك تعبيرات الشكل (ιa) α كمصطلحات ؛ القاعدة 1 ′ أعلاه ، في "تمديدات LPC" ، ستسمح لها عندئذٍ بالحدوث في صيغ ذرية (بما في ذلك صيغ الهوية). "ϕ هي (أي لها خاصية) then" يمكن التعبير عنها كـ as (ιx) ϕx ؛ "y (نفس الفرد) ϕ" مثل y = (ιx) ϕx ؛ "ϕ هي (نفس الفرد) ψ" مثل (ιx) ϕx = (ιy) ψy ؛ وهكذا دواليك.

كان التحليل الصحيح للمقترحات التي تحتوي على أوصاف محددة موضوع جدل فلسفي كبير. ومع ذلك ، فإن أحد الحسابات المقبولة على نطاق واسع - التي تم تقديمها بشكل أساسي في Principia Mathematica والمعروفة باسم نظرية الأوصاف لـ Russell - تنص على أن "ϕ هي ψ" يجب أن تُفهم على أنها تعني أن هناك شيئًا واحدًا بالضبط - وهذا الشيء أيضًا ψ. في هذه الحالة ، يمكن التعبير عنها بواسطة wff من LPC-with-هوية لا تحتوي على معامِلات وصف — أي (1) (∃x) [·x · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. وبالمثل ، يتم تحليل "y is the" على أنها "y is ϕ ولا شيء آخر هو ϕ" وبالتالي يمكن التعبير عنها بواسطة (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "ϕ هي ϕ" يتم تحليلها على أنها "بالضبط شيء واحد هو ϕ ، وشيء واحد بالضبط هو ψ ، ومهما كانت ϕ هي ψ" وبالتالي يمكن التعبير عنها بواسطة (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). then (ιx) ϕx و y = (ιx) ϕx و (ιx) ϕx = (ιy) theny يمكن اعتبارها اختصارات لـ (1) و (2) و (3) ، على التوالي ؛ وعن طريق تعميم الحالات الأكثر تعقيدًا ، يمكن اعتبار جميع wffs التي تحتوي على عوامل وصف اختصارات لـ wffs الأطول التي لا.

التحليل الذي يؤدي إلى (1) كصيغة لـ "The ϕ is ψ" يؤدي إلى ما يلي لـ "The ϕ not ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = ذ) · ∼ψx]. من المهم ملاحظة أن (4) ليس إنكارًا لـ (1) ؛ هذا النفي ، بدلاً من ذلك ، (5) ∼ (∃x) [·x · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. يكمن الفرق في المعنى بين (4) و (5) في حقيقة أن (4) صحيح فقط عندما يكون هناك شيء واحد بالضبط ϕ وهذا الشيء ليس ψ ، ولكن (5) صحيح في هذه الحالة و أيضا عندما لا يكون هناك شيء على الإطلاق وعندما يكون أكثر من شيء واحد ϕ. إهمال التمييز بين (4) و (5) يمكن أن يؤدي إلى ارتباك خطير في التفكير ؛ في الكلام العادي ، من غير الواضح في كثير من الأحيان ما إذا كان الشخص الذي ينكر أن ϕ هو ψ يعترف بأن شيئًا واحدًا بالضبط هو ϕ لكنه ينكر أنه هو ψ ، أو ينكر أن شيئًا واحدًا بالضبط هو ϕ.

الخلاف الأساسي لنظرية الأوصاف في راسل هو أن الاقتراح الذي يحتوي على وصف محدد لا يجب اعتباره تأكيدًا على شيء يكون هذا الوصف له اسمًا بل بالأحرى تأكيدًا كميًا وجوديًا على أن خاصية معينة (معقدة نوعًا ما) لها حالة. بشكل رسمي ، ينعكس هذا في القواعد الخاصة بإلغاء عوامل التشغيل الموضحة أعلاه.